第六十九章 恒河沙数 一览无余（2 / 2）

根据第一章“位积的概述”，我们了解到了位积的具体定义，要对某数的位积进行计算，我们只要把该数的各位数字相加，然后再把和的各位数相加，直至和为一位数即可。

举例说明，如第一章例1

数875的位积即875∫n-1w=（8+7+5）∫n-1w=20∫n-1w=（2+0）∫n-1w=2（例5）

又例：

数958的位积即958∫n-1w=（9+5+8）∫n-1W=22∫n-1w=（2+2）∫n-1w=4（例6）

掌握了位积计算的一般方法，我们就可以进行简单的位积四则计算了。

第四章??位积计算中数字“9”的零性原则

如果进行长时间的位积计算，我们就可以发现一些有趣的规律，那就是位积计算中的“9”具有和“0”相同的性质。大家都知道，无论任何数加上0，结果仍是原数；无论何数乘以0，结果也绝对是0。而在位积计算中，也有这么一个规律，那就是无论何数加上9，它的位积仍然是该数的位积；无论何数乘以9，它的位积永远是9。（特指自然数）。我们把这种特殊的规律定性为9的零性原则。

例：89∫n-1w=（8+9）∫n-1w=17∫n-1w=（1+7）∫n-1w=8（例7）

8×9∫n-1w=72∫n-1w=（7+2）∫n-1w=9（例8）

其实这种规律可以用简单的方法加以证明，因为9=10-1，在位积计算中10与1的位积相等，所以10-1的位积为0。

第五章?位积定律的具体内容

了解到了位积的定义和一些简单的计算方法，我们再来谈一谈位积定律的具体内容。

位积定律主要是研究四则计算中的一些特殊规律的，它具有以下几种特殊规律。

一、位和定律

什么是位和定律呢？就是指数a的位积与数b的位积的和的位积等于数a和数b的和的位积。（特指自然数）

即：（a∫n-1w+b∫n-1w）∫n-1w=（a+b）∫n-1w；反之也能成立

（a+b）∫n-1w=（a∫n-1w+b∫n-1w）∫n-1w

二、位积定律

什么是位积定律呢？就是指数a的位积与数b的位积的积的位积等于数a与数b的积的位积。（特指自然数）

即：（a∫n-1w.b∫n-1w）∫n-1w=（a.b）∫n-1w；反之也能成立

（a.b）∫n-1w=（a∫n-1w.b∫n-1w）∫n-1w

三、位幂定律

什么是位幂定律呢？就是指数a的m次方的位积等于数a的位积的m次方的位积（特指自然数）即:am∫n-1W=(a∫n-1wm）∫n-1W；反之也能成立。

第六章?位积定律的证明

从第四章中的叙述中，我们了解到了数字“9”在位积计算的零性原则，用公式表示为：

（一）、（9+a）∫n-1w=a∫n-1w;

（二）、（9a）∫n-1w=9；

任意一个多数a均可表示为该数的位积与9的m倍的和，即：a=9m+a∫n-1w（n可为任意整数）

设数a为n位数，它的各位数字分别为A、B、C、D……Z等，那么，a∫n-w=（100……0A+100……0B+100……0C+Z）∫n-1W=9(11……1A+11……1B+Z)∫n-1w+(A+B+C+Z)∫n-1w=（9m+a∫n-1w）∫n-1w;两边同时消去∫n-1w，得出a=9m十a∫n-1w

证明：（a+b）∫n-1w=(a∫n-1w+b∫n-1w)∫n-1w

∵a=9m+a∫n-1w

b=9n+b∫n-1w

∴(a+b)∫n-1w=(9m+a∫n-1w+9n+b∫n-1w)∫n-1W=｛9(m+n)+a∫n-1w+b∫n-1w｝∫n-1w

又∵9的零性原因

∴(a+b)∫n-1w=(a∫n-1w+b∫n-1w)∫n-1w

证明：（a.b）∫n-1w=(a∫n-1w.b∫n-1w）∫n-1w

∵a=9m1+a∫n-1w;

b=9m2+b∫n-1w

∴(a.b)∫n-1w={(qm1+a∫n-1w)×(qm2+b∫n-1w｝∫n-1w=｛9×9m1?m2+9m2?a∫n-1w+9m1?b∫n-1w+a∫n-1w.b∫n-1w｝∫n-1w

又∵9的零性原则

∴(a.b)∫n-1w=(a∫n-1w.b∫n-1w）∫n-1w

证明：（a?m∫n-1w=(a∫n-1w）?m?∫n-1w

∴a=9m+a∫n-1w;

∵a?m∫n-1w={(9m+a∫n-1w）?(9m+a∫n-1w)?……(9m+a∫n-1w)?｝∫n-1w两两相乘得出以下结果

a?m∫n-1w={(9×9m2+9×2ma∫n-|w+a∫n-1w)2?×(9×9m2+9×2ma∫n-1w+a∫n-1w)2……｝∫n-1w

又∵9具有零性原则

∴a?m∫n-1w(a∫n-1w.a∫n-1w……a∫n-1w)∫n-1w)=?a∫n-1w?m∫n-1w

第七章?位积计算中的几种特殊规律

一、消“9”法：

在位积计算中，因为数字9具有零性原则，在位积计算中可采用消“9”法来进行计算。在计算中出现了9和9的倍数时，可不必相加，跳过去继续计算。有时也可同时采用“凑9法”与“消9法”相结合，达到简便计算的目的。

例如：∫n-1w的计算就可采用此法。

在此题中，8和1；7和2；6和3相加均为9，可消去，计算结果可能常直观的看出位积为5。

二、指数位积查表法：

在位幂定律中，我们知道了a?m∫n-1w=（am∫n-1w）m∫n-1w。但如果该等式中的m值或a值足够大时，用简单的位积计算方法。难以计算出结果，此时，就可采用指数位积查表法得出计算结果。（图表上传不了）a与m为自然数。

①当a∫n-1w=1时，无论m为何数，am∫n-1w均为1。

②当a∫n-1w=2时，m=1，am∫n-1w=2；m=2，位幂值为4；m=3，位幂值为8；m=4，位幂值为7；m=5，位幂值为5；m=6，位幂值为1。m大于6时，取m6的余数，与m值相对应，即余1则与m=1相同，依此类推。

③当a∫n-1w=3时，m=1，位幂值为3；除此之外，位幂值均为9。

④当a∫n-1w=4时，m=1，位幂值为4；m=2，位幂值为7；m=3，位幂值为1。m大于3时，取m3的余数，与m值相对应，即余1则与m=1相同，依此类推。

⑤当a∫n-1w=5时，m=1，位幂值为5；m=2，位幂值为7；m=3，位幂值为8；m=4，位幂值为4；m=5，位幂值为2；m=6，位幂值为1。m大于6时，与②相同取值。

⑥当a∫n-1w=6时，m=1，位幂值为6；除此之外，位幂值均为9。

⑦当a∫n-1w=7时，m=1，位幂值为7；m=2，位幂值为4；m=3，位幂值为1。m大于3时，与④相同。

⑧当a∫n-1w=8时，m=1，位幂值为8；m=2，位幂值为1。m大于2时，取m2的余数与m值相对应，余1和m=1相同；整除，位幂值为1。

⑨当a∫n-1w=9时，m为任何自然数，位幂值均为9。

例：

①5的4次方的位幂值，查表为4。实际计算，5的4次方为625，其位积为4。

②的108次方的位幂值，的位积为3，查表得9。

③7532的75次方的位幂值，7532的位积为8，查表得8。凡此种种，不胜枚举。